Život

Kako koristiti normalnu aproksimaciju u binomnoj distribuciji

Kako koristiti normalnu aproksimaciju u binomnoj distribuciji

Binomna raspodjela uključuje diskretnu slučajnu varijablu. Vjerojatnosti u binomnom okruženju mogu se izračunati izravnim korištenjem formule za binomni koeficijent. Iako je u teoriji ovo jednostavno izračunavanje, u praksi može postati prilično zamorno ili čak proračunski nemoguće izračunati binomne vjerojatnosti. Ovi se problemi mogu poništiti korištenjem normalne distribucije da bi se približila binomna distribucija. Vidjet ćemo kako to učiniti prolazeći kroz korake izračuna.

Koraci za korištenje normalne aproksimacije

Prvo moramo utvrditi je li prikladno koristiti normalnu aproksimaciju. Nije svaka binomna distribucija ista. Neki pokazuju dovoljno nakrivljenosti da ne možemo iskoristiti normalnu aproksimaciju. Da bismo provjerili treba li se upotrijebiti normalna aproksimacija, moramo pogledati vrijednost p, koja je vjerojatnost uspjeha, i n, što je broj opažanja naše binomne varijable.

Da bismo iskoristili normalnu aproksimaciju, uzmemo u obzir i jedno i drugo np i n( 1 - p ). Ako su oba ova broja veća od 10 ili jednaka, opravdano je korištenje normalne aproksimacije. Ovo je opće pravilo i obično su veće vrijednosti od np i n( 1 - p ), bolji je aproksimacija.

Usporedba između binomne i normalne

Usporedit ćemo točnu binomnu vjerojatnost s onom dobivenom normalnom aproksimacijom. Smatramo bacanjem 20 novčića i želimo znati vjerojatnost da su pet ili manje kovanica bile glave. Ako x je broj glava, tada želimo pronaći vrijednost:

P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2) + P (x = 3) + P (x = 4) + P (x = 5).

Upotreba binomne formule za svaku od ovih šest vjerojatnosti pokazuje nam da je vjerojatnost 2.0695%. Sada ćemo vidjeti koliko će se naša normalna aproksimacija približiti toj vrijednosti.

Provjeravajući uvjete, vidimo da i jedno i drugo np i np(1 - p) jednaki su 10. To pokazuje da u ovom slučaju možemo upotrijebiti normalnu aproksimaciju. Koristit ćemo normalnu distribuciju sa srednjim vrijednostima np = 20 (0,5) = 10 i standardno odstupanje od (20 (0,5) (0,5))0.5 = 2.236.

Da bi se utvrdila vjerojatnost da x je manje od ili jednako 5 koje trebamo pronaći z-zabilježite 5 u normalnoj distribuciji koju koristimo. Tako z = (5 - 10) /2.236 = -2.236. Savjetovanjem sa tablicom od z-očekujemo da je vjerojatnost da z je manje ili jednako -2.236 je 1.267%. To se razlikuje od stvarne vjerojatnosti, ali je unutar 0,8%.

Faktor korekcije kontinuiteta

Da bismo poboljšali našu procjenu, prikladno je uvesti faktor korekcije kontinuiteta. To se koristi jer je normalna distribucija kontinuirana, dok je binomna raspodjela diskretna. Za binomnu slučajnu varijablu, histogram vjerojatnosti za x = 5 će uključivati ​​traku koja ide od 4,5 do 5,5 i centrirana je u 5.

To znači da je za gornji primjer vjerojatnost da x je manja ili jednaka 5 za binomnu varijablu treba procijeniti na vjerojatnost da x manje je ili jednako 5,5 za kontinuiranu normalnu varijablu. Tako z = (5,5 - 10) /2,236 = -2,013. Vjerojatnost da z